知識整理 スペクトル分解
スペクトル分解
正規変換の固有空間は直行するという性質を持っている。射影子を定義することで正規変換は固有値×その固有値を持つ固有空間の射影子の和で表すことができる。これをスペクトル分解という。
具体的な証明の流れはまず交換可能な変換を考えるS、Tが交換可能ならS不変であるSの固有空間WはT不変である。よってTのWにおける固有ベクトルはSの固有ベクトルである。このことからS不変T不変である部分空間の列を作ることできる。証明方法は随伴変換S＊T＊の固有ペクトルを考えるこのベクトルが作る空間の直交空間はS不変T不変であるこれと数学的帰納法により証明できる。これにより正規直交基底を足してS不変T不変な空間を作ることができる。この性質を利用することで交換可能な行列においてその直交行列による基底の取り換えを行いそれぞれを上三角行列を作ることができる。これによりTが正規変換であるならば、TとT＊を考えることでユニタリ行列により対角行列にすることができる。このことからこの正規直交基底は固有ベクトルになることがわかる。その後に射影子というものを考える各ベクトルを固有空間とその直交空間の和に分解したときの固有空間のベクトルへの変換を射影しと定義する。この射影子ｐはｐ＾２＝ｐ、ｐ＊＝ｐを満たす逆にこれを満たすものが射影子となる。直交する空間同士の射影子の積は０である。逆も可。ここで各固有空間の射影子と固有値の積の総和が線形変換になる。（正規直交基底の線形結合で表せばわかる）また射影子の総和はＩとなる。
あまり進まない1か月
大学生になってもう1か月近く経つ。この１か月間はずっと数学をしていたがあまり成長をしていないもののそれなりに楽しく勉強ができているので満足している。この期間で学んだことはまず斎藤線形代数を5章の固有ベクトルの章まで読んで杉浦解析を1章まで読んだことだ。反省点としてはどちらとも演習問題に時間がかかり早く読むことができなかったことと定理の内容を読んで感動してもそれはすぐに頭から抜けてしまうことである。関数解析に興味を持っており急いで先へ進もうとしているが焦りすぎるのもよくないと感じるようになっている。
5月の目標
・斎藤線形の6章を読むそしてその前の章を復習
特に面白かった5章を中心に復習したい
・杉浦解析を3章まで読む1章の復習
見た感じ1章の方が２，３章より難しそうなので今後は少しは楽に読める気がする。1章は特にコンパクトと中間値の定理あたりはよく復習しておきたい
・英語の勉強をする
受験が終わってから英語にはあまり触れていないため英語で書かれた数学書を読むためにも勉強する必要がある何をやるかは未定
・大学の勉強
大学のテストもあるのでそれに向けた勉強もする必要があると思った。興味のない科目は多いが悪い成績をとるわけにもいかないのでボチボチ始めていきたい
今週の目標
線形の5章の演習を解き6章を読む
解析の2章を進める
英語の自主学習用の本を買う
数弱の数学日記
大学に入学してしばらく時間がたち新しい暮らしに慣れ始めた。大学での暮らしはサークルに入るわけでもなくアルバイトをすることもなくただただ授業を受け課題をして余った時間で数学をやるという単調なものである。とはいえ怠惰な生活を送り何も生きる意味を見いだせなかった高校時代に比べればだいぶましになった気がする。自分は他人と積極的にコミュニケーションをとることは苦手（異性とコミュニケーションをとることに関しては不可能）であるためバラ色の学生生活を送るのは絶望的であるなのでこの4年間は学業を充実させたいと思った。そのため大学入学後からはずっと数学をしている。
ここでブログを書こうとしたきっかけもそれの一環である。他人に見せるというよりは日記のような感覚だと思う。大学生活で思ったことや数学で学んだことや目標を文字に起こすことで自分の思考を整理することができるので良い。
数学以外にも興味のある分野もいろいろあるが、それは一旦保留してまずは今年度の数学の目標をについて考えたいと思う。実際自分がどのペースで数学の本を読みこなすことができるかは未知であり目標通り勉強をこなすことは不可能であると思う。また目標を達成することにとらわれ中身の理解をないがしろにする可能性もある。しかし自分が怠惰な人間なので目標のような期限を立てないといつまでたってもダラダラとして勉強してなかなか進まないと思ったので立てることにした。具体的には長期的目標で勉強したい分野を書き、週の目標では具体的にどの範囲を進めるか書いていけたらいいなと思う
また数学の思考の整理については、その日その週数学で学んだことを書き込み
自分がどのようなことを学んだのかざっくり記録しつつ復習もできるようにしたい。3日に一度程度書き込めたらいいなと思う
とりあえず今年度の目標を書いてみることにした。
高校時代に大学数学に少し触れていたという点を踏まえてもかなり無理のある内容であるような気もするので変更する可能性もあり
②数学のゼミに参加する
誰かと数学のゼミをするという経験もしておきたいと思った
という感じで堕落せずに今年度を過ごしていきたい
